Evan's Blog
EvanZhu0721 / 公开仓库

AP-Physics-C-EM

镜像已同步

AP Physics C: Electricity and Magnetism 中文知识库与学习笔记，涵盖静电学、电路、磁场和电磁感应。

SOURCENO LICENSEmain来源 commit e736e6c62026/10/15 06:37:14 同步
下载源码 上游 GitHub
READ-ONLY MIRROR

README、源码与 Release 已保存到本站；源码视图固定到 commit e736e6c6。

05 电磁感应/电感与RL、LC电路.md
来源 commit e736e6c6 阅读模式 查看源码

电感与RL、LC电路

自感与电感

磁通联结定义：

NΦB=LIN\Phi_B = LI

因此：

L=NΦBIL = \frac{N\Phi_B}{I}

自感电动势：

εL=−LdIdt\varepsilon_L = -L\frac{dI}{dt}

若只关心大小或已固定好符号约定，也常写成：

VL=LdIdtV_L = L\frac{dI}{dt}

因此若已知电感两端电压随时间的函数，可直接积分求电流：

I(t)=I(0)+1L∫0tVL(τ) dτI(t)=I(0)+\frac{1}{L}\int_0^t V_L(\tau)\,d\tau

长螺线管电感：

L=μ0N2AℓL = \mu_0 \frac{N^2A}{\ell}

RL 电路

充电（接入电源）

回路方程：

ε−IR−LdIdt=0\varepsilon - IR - L\frac{dI}{dt} = 0

解得：

I(t)=εR(1−e−Rt/L)I(t) = \frac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-Rt/L}\right)

时间常数：

τ=LR\tau = \frac{L}{R}

电阻两端电压：

VR=IR=ε(1−e−t/τ)V_R = IR = \varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)

电感两端电压大小：

∣VL∣=LdIdt=εe−t/τ|V_L| = L\frac{dI}{dt} = \varepsilon e^{-t/\tau}

放电

若初始电流为 I0I_0：

I(t)=I0e−Rt/L=I0e−t/τI(t) = I_0 e^{-Rt/L} = I_0 e^{-t/\tau}

如果这个 I0I_0 来自长时间充电后的稳态，才可进一步写成 I0=ε/RI_0=\varepsilon/R。

LC 振荡

角频率：

ω=1LC\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}

频率：

f=12πLCf = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

常见解：

q(t)=Qmax⁡cos⁡(ωt+ϕ)q(t) = Q_{\max}\cos(\omega t + \phi)

i(t)=dqdt=−ωQmax⁡sin⁡(ωt+ϕ)i(t) = \frac{dq}{dt} = -\omega Q_{\max}\sin(\omega t + \phi)

总能量守恒：

U=q22C+12Li2U = \frac{q^2}{2C} + \frac{1}{2}Li^2

储能

电感储能：

U=12LI2U = \frac{1}{2}LI^2

真空磁场能量密度：

uB=B22μ0u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}

二级结论

  • 刚接通瞬间，电感阻碍电流突变，近似像断路。
  • 长时间后，理想电感在直流稳态里近似像导线。
  • 一个时间常数后，RL 电流达到最终值的约 63%63\%。
  • LC 电路里，电容能与磁场能周期性交换，总机械式“阻尼”并不在理想模型中出现。

拓展提醒

长同轴电缆电感等模型常见于拓展题，但不属于 AP 核心高频主线；做题时优先保证 RL、LC、螺线管电感熟练。

易错点

  • εL=−L dI/dt\varepsilon_L=-L\,dI/dt 的负号来自楞次定律；在 KVL 中若写成“沿电流方向电压降”，常会出现 +L dI/dt+L\,dI/dt 这一项，两者不矛盾，前提是符号约定一致。
  • RL 放电公式里前面的常数应写成 I0I_0，不是默认都写成 ε/R\varepsilon/R。
  • uB=B2/(2μ0)u_B = B^2/(2\mu_0) 是真空常用式，AP 题中通常默认用它。

前置

连接到

常与之比较

教材对应